Question

12．如图，在长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB=AD=1，AA₁=$\sqrt{2}$．
（1）求证：BD⊥平面ACC₁A₁
（2）求异面直线A₁C₁与BD所成的角．
（3）求三棱锥D₁-ABD的体积．

Answer 1

分析 （1）由AC⊥BD，AA₁⊥BD即可得出BD⊥平面ACC₁A₁；
（2）由BD⊥平面ACC₁A₁得出BD⊥A₁C₁，故异面直线A₁C₁与BD所成的角为90°；
（3）直接代入棱锥的体积公式计算．

解答 证明：（1）∵AB=AD，AB⊥AD，
∴四边形ABCD是正方形，∴BD⊥AC．
∵AA₁⊥平面ABCD，BD?平面ABCD，
∴AA₁⊥BD，
又AC?平面ACC₁A₁，AA₁?平面ACC₁A₁，
∴BD⊥平面ACC₁A₁．
解：（2）BD⊥平面ACC₁A₁，A₁C₁?平面ACC₁A₁，
∴BD⊥A₁C₁，
∴异面直线A₁C₁与BD所成的角为90°．
（3）V${\;}_{{D}_{1}-ABD}$=$\frac{1}{3}{S}_{△ABD}•D{D}_{1}$=$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×1×1×\sqrt{2}$=$\frac{\sqrt{2}}{6}$．

点评 本题考查了线面垂直的判定与性质，棱锥的体积计算，属于中档题．