Question

9．PA垂直于⊙O所在平面，B在⊙O上，AC是直径，AE⊥BP于E点
（1）求证：AE⊥面PBC；
（2）若PA=AB=BC=6，求点B到平面AEO的距离．

Answer 1

分析 （1）PA垂直于⊙O所在平面，可得PA⊥BC．进而定点BC⊥平面PAB，BC⊥AE，即可证明：AE⊥面PBC．
（2）如图所示，建立空间直角坐标系．设平面AEO的法向量为$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{AO}=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{AE}=0}\end{array}\right.$，可得$\overrightarrow{n}$，可得点B到平面AEO的距离=$\frac{|\overrightarrow{n}•\overrightarrow{AB}|}{|\overrightarrow{n}|}$．

解答 （1）证明：∵PA垂直于⊙O所在平面，∴PA⊥BC．
又BC⊥AB，PA∩AB=A，∴BC⊥平面PAB．
∵AE?平面PAB，∴BC⊥AE，
又AE⊥BP，BP∩BC=B，∴AE⊥面PBC．
（2）解：如图所示，建立空间直角坐标系．
∵PA=AB=BC=6，∴A（0，0，0），O（0，3$\sqrt{2}$，0），B（3$\sqrt{2}$，3$\sqrt{2}$，0），
P（0，0，6），E$（\frac{3\sqrt{2}}{2}，\frac{3\sqrt{2}}{2}，3）$，
∴$\overrightarrow{AO}$=（0，3$\sqrt{2}$，0），$\overrightarrow{AE}$=$（\frac{3\sqrt{2}}{2}，\frac{3\sqrt{2}}{2}，3）$，$\overrightarrow{AB}$=（3$\sqrt{2}$，3$\sqrt{2}$，0）．
设平面AEO的法向量为$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{AO}=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{AE}=0}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{3\sqrt{2}y=0}\\{\frac{3\sqrt{2}}{2}x+\frac{3\sqrt{2}}{2}y+3z=0}\end{array}\right.$，取$\overrightarrow{n}$=$（\sqrt{2}，0，-1）$．
∴点B到平面AEO的距离=$\frac{|\overrightarrow{n}•\overrightarrow{AB}|}{|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{6}{\sqrt{3}}$=2$\sqrt{3}$．

点评 本题考查了空间位置关系与空间距离、线面垂直的判定与性质定理、法向量的应用、数量积运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．