Question

对于定义在区间D上的函数f（x），若任给x₀∈D，均有f（x₀）∈D，则称函数f（x）在区间D上封闭．
（1）试判断f（x）=2x-1在区间[0，1]上是否封闭，并说明理由；
（2）若函数g（x）=

2x+m

x+2

在区间[2，9]上封闭，求实数m的取值范围；
（3）若函数h（x）=x³-3x在区间[a，b]（a，b∈Z）上封闭，求a，b的值．

Answer 1

考点：函数单调性的性质

专题：函数的性质及应用

分析：（1）根据f（x）在区间[0，1]上单调递增，可得函数的值域为[-1，1]．由[-1，1]?[0，1]，可得结论．
（2）根据函数g（x）=

2x+m

x+2

在区间[2，9]上封闭，分类讨论求得实数m的取值范围．
（3）利用导数研究h（x）的单调性，分类讨论，求得m的范围．

解答： 解：（1）∵f（x）=2x-1在区间[0，1]上单调递增，所以函数的值域为[-1，1]．
而[-1，1]?[0，1]，所以f（x）在区间[0，1]上不是封闭的．
（2）因为函数g（x）=

2x+m

x+2

在区间[2，9]上封闭，
①当m=4时，函数g（x）的值域为{2}⊆[2，9]，适合题意．
②当m＞4时，函数g（x）在区间[2，9]上单调递减，g（x）的值域为[

18+m

11

，

4+m

4

]，
由为[

18+m

11

，

4+m

4

]⊆[2，9]，得

18+m 11 ≥2 4+m 4 ≤9

，解得4≤m≤32．
③当m＜4时，在区间[2，9]上有g（x）=

2x+m

x+2

=2+

m-4

x+2

＜2，显然不合题意．
综上所述，实数m的取值范围是[4，32]．
（3）因为函数h（x）=x³-3x，所以h′（x）=3（x+1）（x-1），
所以h（x）在（-∞，-1）、（1，+∞）上递增，在（-1，1）上递减．
①当a＜b≤-1时，h（x）在区间[a，b]上递增，所以

h(a)≥a h(b)≤b

，
即

-2≤a≤-1 b≤-2

，显然a、b无解．
②当a≤-1且-1＜b≤1时，h_min（x）=h（-1）=2＞b，不合题意．
③当a≤-1且b＞1时，因为h（-1）=2，h（1）=-2都在函数的值域内，
∴a≤-2，b≥2．
又

h(a)≥a h(b)≤b

，即

a3≥4a b4≤4b

，解得：

-2≤a≤2 -2≤b≤2

，故有a=-2，b=2．
④当-1≤a＜b≤1时，h（x）在区间[a，b]上递减，则

h(b)≥a h(a)≤b

．
∵a、b∈z，经验证，均不合题意．
⑤当-1＜a≤1 且b＞1时，h_min（x）=h（1）=-2＜a，∴此情况不合题意．
⑥当b＞a≥1时，h（x）在区间[a，b]上递增，所以

h(a)≥a h(b)≤b

，
此时无解．
综上可得，所求的整数a、b的值为a=-2，b=2．

点评：本题主要考查函数的单调性的应用，新定义，其中，分类讨论，是解题的关键和难点，属于中档题．