Question

已知椭圆C的长轴长为2

2

，一个焦点的坐标为（1，0）．直线l：y=kx与椭圆C交于A，B两点，点P为椭圆上不同于A，B的任意一点．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）设l的斜率k=1，P为椭圆的右顶点．求△ABP的面积．
（Ⅲ）若直线AP，BP的斜率存在且分别为k₁，k₂．求k₁k₂．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的关系,椭圆的标准方程

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（Ⅰ）由椭圆的定义容易求得a，c，然后结合a²=b²+c²求出b，焦点在x轴上，所以方程可求；
（Ⅱ）S_△ABP=S_△OAP+S_△OBP=

1

2

OB•|yA|+

1

2

OB|yB|=

1

2

a|yA-yB|，然后将直线方程代入椭圆方程，消去x，得到关于y的一元二次方程，其两个根就是y_A，y_B，容易求得|y_A-y_B|，则面积可求；
（Ⅲ）将已知与所求坐标化，然后化简．注意到椭圆的对称性、直线y=kx过原点和椭圆相交，则A，B两点横纵坐标分别互为相反数，同时将P点坐标给出来，再将k₁，k₂用A，B，P坐标表示，然后将k₁k₂表示出来进行化简即可，注意消元．

解答： 解：（Ⅰ）长轴长为2

2

，一个焦点的坐标为（1，0），
∴a=

2

，c=1，且焦点在x轴上，
∴b²=a²-c²=1，
∴椭圆方程为

x2

2

+y2=1．
（Ⅱ）由已知直线l方程为y=x，
代入

x2

2

+y2=1后化简得
y=

6

3

或-

6

3

，
∴S_△ABP=S_△OAP+S_△OBP=

1

2

OB•|yA|+

1

2

OB|yB|=

1

2

a|yA-yB|
=

1

2

×

2

×

2 6

3

=

2 3

3

；
（Ⅲ）由椭圆的对称性且y=kx过原点，不妨设A（x，y），B（-x，-y），P（m，n），
∴k₁k₂=

n-y

m-x

•

n+y

m+x

=

n2-y2

m2-x2

①，
又

x2

2

+y2=1，

m2

2

+n2=1，
∴①=

(1- m2 2 )-(1- x2 2 )

m2-x2

=

- 1 2 (m2-x2)

m2-x2

=-

1

2

．
∴k1k2=-

1

2

．

点评：第（1）（2）问属常规题型，较为简单；第三问先把k₁，k₂坐标化，充分注意到A，B两点的对称性消元，再利用椭圆方程消元，最后将k₁k₂化简求值．