Question

直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AC=CB=AA₁=2，∠ACB=90°，E是BB₁的中点，D∈AB，∠A₁DE=90°．
（1）以C为原点建立坐标系求D点的坐标
（2）求二面角D-A₁C-A的大小．
（3）求E到平面 A₁CD的距离．

Answer 1

考点：用空间向量求平面间的夹角,点、线、面间的距离计算

专题：空间角

分析：（1）以C为原点建立坐标系C-xyz，由已知条件推导出

AB

=(-2，2，0)，设

AD

=m

AB

=（-2m，2m，0），则D（2-2m，2m，0），

A1D

=（-2m，2m，-2），

DE

=（2m-2，2-2m，1），由此利用

A1D

•

DE

=0，能求出D点坐标．
（2）分别求出平面CDA₁的法向量和平面ACA₁的法向量，由此利用向量法能求出二面角D-A₁C-A的大小．
（3）由

CE

=(0，2，1)，平面A₁CD的法向量

n

=(1，-1，-1)，利用向量法能求出E到平面A₁CD的距离．

解答： 解：（1）以C为原点建立坐标系C-xyz，
∵直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AC=CB=AA₁=2，∠ACB=90°，
E是BB₁的中点，D∈AB，∠A₁DE=90°，
∴A（2，0，0），B（0，2，0），E（0，2，1），A₁（2，0，2），
∴

AB

=(-2，2，0)，设

AD

=m

AB

=（-2m，2m，0），
∴D（2-2m，2m，0），∴

A1D

=（-2m，2m，-2），

DE

=（2m-2，2-2m，1），
∴

A1D

•

DE

=-2m•（2m-2）+2m（2-2m）=0，
解得m=

1

2

，或m=0（舍），
∴D（1，1，0）．
（2）

CA1

=（2，0，2），

CD

=(1，1，0)，
设平面CDA₁的法向量

n

=(x，y，z)，
则

n • CD =x+y=0 n • CA1 =2x+2z=0

，取x=1，得

n

=(1，-1，-1)，
平面ACA₁的法向量

m

=(0，1，0)，
设二面角D-A₁C-A的平面角为θ，
则cosθ=|cos＜

n

，

m

＞|=|

-1

3

|=

3

3

，
∴二面角D-A₁C-A的大小为arccos

3

3

．
（3）∵

CE

=(0，2，1)，平面A₁CD的法向量

n

=(1，-1，-1)，
∴E到平面A₁CD的距离d=

| CE • n |

| n |

=

|0-2-1|

3

=

3

．

点评：本题考查点的坐标的求法，考查二面角的大小的求法，考查点到平面的距离的求法，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．