Question

如图，四棱锥P-ABCD中，PB⊥底面ABCD，CD⊥PD，底面ABCD为直角梯形，AD∥BC，AB⊥BC，AB=AD=PB=3，点E在棱PA上，且PE=2EA．
（1）求BC的长；
（2）求异面直线PA与CD所成的角；
（3）求二面角A-BE-D的余弦值．

Answer 1

考点：与二面角有关的立体几何综合题,异面直线及其所成的角

专题：空间角

分析：（1）以B为原点，BC、BA、BP所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系B-xyz．利用向量法能求出BC的长．
（2）由（1）知C（6，0，0），由此利用向量法能求出异面直线PA与CD所成的角的大小．
（3）分别求出平面BED的法向量和平面ABE的法向量，由此能求出二面角A-BE-D的余弦值．

解答： 解：（1）以B为原点，BC、BA、BP所在直线分别为x轴，y轴，z轴，
建立空间直角坐标系B-xyz．设BC=a，
则A（0，3，0），P（0，0，3），D（3，3，0），C（a，0，0），

CD

=(3-a，3，0)，

PD

=(3，3，-3)．
∵CD⊥PD，∴

CD

•

PD

=3(3-a)+9=0，
解得a=6，∴C（6，0，0）．∴BC=6．
（2）由（1）知C（6，0，0），∴

CD

=(-3，3，0)，

PA

=(0，3，-3)，
∴cos＜

PA

，

CD

＞=

9

3 2 ×3 2

=

1

2

，
∴异面直线PA与CD所成的角等于60°．
（3）设平面BED的法向量

n

=(x，y，z)，
∵PE=2EA，∴E（0，2，1），

BE

=(0，2，1)，

BD

=(3，3，0)，
由

n • BE =0 n • BD =0

，得

2y+z=0 3x+3y=0

，取x=1，得

n

=(1，-1，2)．
又∵平面ABE的法向量

m

=(1，0，0)，
∴cos＜

n

，

m

＞=

1

6

=

6

6

，
∴二面角A-BE-D的余弦值为

6

6

．

点评：本题考查线段长的求法，考查异面直线所成的角的求法，考查二面角的余弦值的求法，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．