Question

如图，点P是以O为圆心，AB为直径的半圆上的动点，AB=2，设弦AP的长为x，△APO的面积为y，则下列图象中，能表示y与x函数关系的图象大致是（　　）

• A、
• B、
• C、
• D、

Answer 1

考点：函数的图象

专题：函数的性质及应用

分析：过O点做OC⊥AP，表示出y，根据基本不等式，得到y的最大值，并求出此时x=

2

，再利用换元法，设x=2sinθ，θ∈（0，

π

2

），得到y=

1

2

sin2θ，可以得出函数的图象是类似于正弦函数的图象，问题得以解决

解答： 解：过O点做OC⊥AP，如图，AC=

1

2

AP=

1

2

x，
在Rt△AOC中，OA=

1

2

AB=1，
∴OC=

OA2-AC2

=

1- 1 4 x2

=

1

2

4-x2

，
∴y=

1

2

OC•AP=

1

4

x•

4-x2

=

1

4

x2(4-x2)

≤

1

2

，当且仅当x=

2

时取等号，
设x=2sinθ，θ∈（0，

π

2

），
则y=

1

2

sin2θ，
则y与x函数关系的图象大致类似于正弦函数图象（光滑的曲线），
故选：A

点评：本题考查了动点问题的函数图象，求函数的解析式法，以及基本不等式的应用，属于中档题．