Question

已知曲线C的极坐标方程式ρ²=2ρsinθ+3，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线l的参数方程是

x=m+4t y=3t

（t为参数，m为常熟）
（1）写出曲线C的参数方程，直线l的普通方程
（2）当曲线C与直线l有公共点时，求m的取值范围．

Answer 1

考点：简单曲线的极坐标方程,参数方程化成普通方程

专题：坐标系和参数方程

分析：（1）曲线C的极坐标方程式ρ²=2ρsinθ+3，把

x=ρcosθ y=ρsinθ

代入即可得出；进而可得曲线C的参数方程为

x=2cosθ y=1+2sinθ

．由直线l的参数方程

x=m+4t y=3t

（t为参数），消去参数t可得3x-4y-3m=0．
（2）曲线C与直线l有公共点，可得圆心到直线的距离≤r，解出即可．

解答： 解：（1）曲线C的极坐标方程式ρ²=2ρsinθ+3，化为x²+y²=2y+3，配方为x²+（y-1）²=4．
可得曲线C的参数方程为

x=2cosθ y=1+2sinθ

．
由直线l的参数方程

x=m+4t y=3t

（t为参数），消去参数t可得3x-4y-3m=0．
（2）∵曲线C与直线l有公共点，∴

|0-4-3m|

32+42

≤2，
化为|3m+4|≤10，∴-10≤3m+4≤10，解得-

14

3

≤m≤2．
∴m的取值范围是[-

14

3

，2]．

点评：本题考查了圆的极坐标方程化为直角坐标方程及参数方程、点到直线的距离公式、直线与圆的位置关系，考查了计算能力，属于基础题．