Question

设数列{a_n}的前n项和为S_n，若S_n+a_n=n（n∈N⁺）．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）求证：

1

2a1

+

1

22a2

+

1

23a3

+…+

1

2nan

＜2．

Answer 1

考点：数列的求和,数列递推式

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）当n=1时，a₁+a₁=1，解得a1=

1

2

．S_n+a_n=n，当n≥2时，S_n-1+a_n-1=n-1，可得an-1=

1

2

(an-1-1)，a1-1=-

1

2

．利用等比数列的相同公式即可得出；
（2）利用

1

2nan

=

1

2n-1

≤

1

2n-1

，再利用等比数列的前n项和公式就看得出．

解答： （1）解：当n=1时，a₁+a₁=1，解得a1=

1

2

．
S_n+a_n=n，当n≥2时，S_n-1+a_n-1=n-1，可得a_n+a_n-a_n-1=1，
∴an-1=

1

2

(an-1-1)，a1-1=-

1

2

．
∴数列{a_n-1}是等比数列，an-1=-

1

2

×(

1

2

)n-1，
∴an=1-

1

2n

．
（2）证明：∵

1

2nan

=

1

2n-1

≤

1

2n-1

，
∴

1

2a1

+

1

22a2

+

1

23a3

+…+

1

2nan

≤1+

1

2

+

1

22

+…+

1

2n-1

=

1- 1 2n

1- 1 2

=2(1-

1

2n

)＜2．
∴

1

2a1

+

1

22a2

+

1

23a3

+…+

1

2nan

＜2．

点评：本题考查了等比数列的通项公式及前n项和公式、“放缩法”、递推式的应用，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．