Question

在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，AD∥BC，E为AD的中点，∠BAD=120°，PA=AB=BC=

1

2

AD，F是线段PB上动点，记λ=

PF

PB

（Ⅰ）求证：CE∥平面PAB；
（Ⅱ）设二面角F-CD-E的平面角为θ，当tanθ=

1

2

时，求实数λ的值．

Answer 1

考点：用空间向量求平面间的夹角,二面角的平面角及求法

专题：空间位置关系与距离,空间角

分析：（Ⅰ）由已知得四边形AEBC为平行四边形，AB∥CE，由此能证明CE∥平面PAB．
（Ⅱ）法一：过F作FH∥AP交AB于点H，由已知得FH⊥平面ABCD，过H作HG⊥CD交直线CD于点G，连接FG，则∠FGH即为二面角F-CD-E的平面角，延长AB与DC交于点Q，设FH=a，则HG=2a，由此能求出λ=

PF

PB

=

AH

AB

=

2a

3a

=

2

3

．
（Ⅱ）法二：以A为坐标原点如图建立空间直角坐标系，利用向量法能求出λ=

2

3

．

解答： 解：（Ⅰ）证明：∵E为AD的中点，BC=

1

2

AD，
∴AE=BC，又AD∥BC，∴四边形AEBC为平行四边形，AB∥CE，
又CE?平面PAB，AB?平面PAB，
∴CE∥平面PAB．
（Ⅱ）解法一：过F作FH∥AP交AB于点H，
∵PA⊥平面ABCD，∴FH⊥平面ABCD，
过H作HG⊥CD交直线CD于点G，连接FG，则FG⊥CD，
∴∠FGH即为二面角F-CD-E的平面角，tan∠FGH=

1

2

，
延长AB与DC交于点Q，设FH=a，则HG=2a，
又∵PA=AB=BC=

1

2

AD，∴∠BQC=30°，∠PBA=45°，
在Rt△HGQ中，HQ=4a，Rt△PHB中，BH=FH=a，则 BQ=3a，HA=2a，
∴λ=

PF

PB

=

AH

AB

=

2a

3a

=

2

3

．
（Ⅱ）解法二：以A为坐标原点如图建立空间直角坐标系，
设AB=1，则B(1，0，0) ，C(

1

2

，

3

2

，0) ，D(-1，

3

，0)
由λ=

PF

PB

，得

PF

=λ

PB

    ，λ∈(0，1)，由已知得F（λ，0，1-λ）
则

CF

=（λ-

1

2

，-

3

2

，1-λ），

DF

=（λ+1，-

3

，1-λ），
设平面FCD的法向量

n

=(1，y，z)，
由

n • CF =0 n • DF =0

，得

n

=(1，

3

，

λ-2

λ-1

)，
又平面CDE的法向量为

n

1=(0，0，1)，
由tanθ=

1

2

，得cosθ=

2 5

5

，
由cosθ=

n • n1

| n || n1 |

=

2 5

5

，
解得λ=

2

3

或λ=

6

5

(舍去)，所以λ=

2

3

．

点评：本题考查直线与平面平行的证明，考查两线段比值的求法，是中档题，解题时要注意空间思维能力的培养．