Question

设0＜a≤1，函数f（x）=x+

a

x

，g（x）=x-lnx，若对任意的x₁，x₂∈[1，e]，都有f（x₁）≥g（x₂）成立，则a的取值范围为（　　）

• A、（0，1]
• B、（0，e-2]
• C、[e-2，1]
• D、[1-

  1

  e

  ，1]

Answer 1

考点：函数恒成立问题

专题：计算题,函数的性质及应用,不等式的解法及应用

分析：运用导数可得f（x），g（x）在x∈[1，e]时单调递增，要使对任意的x₁，x₂∈[1，e]，有f（x₁）≥g（x₂）成立，只需f（x）_min≥g（x）_max．

解答： 解：由于f′(x)=1-

a

x2

=

x2-a

x2

，g′(x)=1-

1

x

=

x-1

x

，
∵x∈[1，e]，0＜a≤1，∴f'（x）＞0，g'（x）＞0，
即f（x），g（x）在x∈[1，e]时单调递增，
由任意的x₁，x₂∈[1，e]，都有f（x₁）≥g（x₂）成立，
所以f（x）_min≥g（x）_max，即f（1）≥g（e），
∴1+a≥e-1，∴a≥e-2，又0＜a≤1，得e-2≤a≤1，
故选C．

点评：本题考查函数的单调性的运用，考查运用导数判断函数的单调性，考查不等式恒成立问题转化为求最值，考查运算能力，属于中档题和易错题．