Question

20．某同学参加学校自主招生3门课程的考试，假设该同学第一门课程取得优秀成绩概率为$\frac{2}{5}$，第二、第三门课程取得优秀成绩的概率分别为p，q（p＜q），且不同课程是否取得优秀成绩相互独立，记ξ为该生取得优秀成绩的课程数，其分布列为

ξ	0	1	2	3
p	$\frac{6}{125}$	x	y	$\frac{24}{125}$

（1）求该生至少有1门课程取得优秀成绩的概率及求p，q（p＜q）的值；
（2）求该生取得优秀成绩课程门数的数学期望Eξ．

Answer 1

分析 （1）由对立事件概率计算公式能求出该生至少有1门课程取得优秀成绩的概率，求出P（ξ=0）=$\frac{6}{125}$，P（ξ=3）=$\frac{24}{125}$，p＜q，由此列出方程组能求出结果．
（2）由已知得ξ的可能取值为0，1，2，3，分别求出相应的概率，由此能求出该生取得优秀成绩课程门数的数学期望Eξ．

解答 解：（1）由已知得该生至少有1门课程取得优秀成绩的概率：
P=1-P（ξ=0）=1-$\frac{6}{125}$=$\frac{119}{125}$．
∵P（ξ=0）=$\frac{6}{125}$，P（ξ=3）=$\frac{24}{125}$，p＜q，
∴$\left\{\begin{array}{l}{\frac{3}{5}（1-p）（1-q）=\frac{6}{125}}\\{\frac{2}{5}pq=\frac{24}{125}}\\{p＜q}\end{array}\right.$，
解得p=$\frac{3}{5}$，q=$\frac{4}{5}$．
（2）由已知得ξ的可能取值为0，1，2，3，
P（ξ=0）=$\frac{6}{125}$，P（ξ=3）=$\frac{24}{125}$，
P（ξ=1）=$\frac{2}{5}（1-\frac{3}{5}）（1-\frac{4}{5}）$+（1-$\frac{2}{5}$）×$\frac{3}{5}×（1-\frac{4}{5}）$+（1-$\frac{2}{5}$）×（1-$\frac{3}{5}$）×$\frac{4}{5}$=$\frac{37}{125}$，
P（ξ=2）=$\frac{2}{5}×\frac{3}{5}×（1-\frac{4}{5}）$+$\frac{2}{5}×（1-\frac{3}{5}）×\frac{4}{5}$+（1-$\frac{2}{5}$）×$\frac{3}{5}×\frac{4}{5}$=$\frac{58}{125}$，
∴Eξ=0×$\frac{6}{125}+1×\frac{37}{125}+2×\frac{58}{125}+3×\frac{24}{125}$=$\frac{9}{5}$．

点评 本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，考查推理论证能力、运算求解能力，考查分类讨论思想、转化化归思想、整体思想，是中档题．