Question

10．已知椭圆的中心在坐标原点，右焦点F的坐标为（3，0），直线L：x+2y-2=0交椭圆于A．B两点，线段AB的中点为$M（1，\frac{1}{2}）$；
（1）求椭圆的方程；
（2）动点N满足NA⊥NB，求动点N的轨迹方程．

Answer 1

分析 （1）利用点差法，结合中点坐标公式，求椭圆的方程；
（2）动点N满足NA⊥NB，动点N的轨迹是以M为圆心，AB为直径的圆，即可求动点N的轨迹方程．

解答 解：（1）设椭圆方程为$\frac{x^2}{m}+\frac{y^2}{n}=1，（m＞n＞0）$，
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
则$\frac{{（{x_1}+{x_2}）（{x_1}-{x_2}）}}{m}=-\frac{{（{y_1}+{y_2}）（{y_1}-{y_2}）}}{n}$
∵x₁+x₂=2，y₁+y₂=1
∴m=4n，m=n+9     
∴m=12，n=3．
椭圆方程为$\frac{x^2}{12}+\frac{y^2}{3}=1$；
（2）由$\frac{x^2}{12}+\frac{y^2}{3}=1，与x+2y-2=0$得y²-y-1=0，
则y₁y₂=-1，y₁+y₂=1
因NA⊥NB，∴动点N的轨迹是以M为圆心，AB为直径的圆，
$|{AB}|=\sqrt{（1+{2^2}）{{（{y_1}-{y_2}）}^2}}=5$，${r^2}=\frac{25}{4}$，
故动点N的轨迹方程为${（x-1）^2}+{（y-\frac{1}{2}）^2}=\frac{25}{4}$．

点评 本题考查椭圆方程，考查圆的方程，考查点差法的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．