Question

5．已知数列{a_n}的前n项和为S_n，且S_n=2ⁿ（n∈N^*）．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）设b_n=a_nlog₂a_n，求{b_n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析 （1）根据数列的递推公式，即可求出．
（2）由（1）和条件求出b_n，利用错位相减可求{b_n}的前n项和T_n．

解答 解：（1）当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=2^n-1，
当n=1时，a₁=S₁=2，
∴数列的通项公式为．a_n=$\left\{\begin{array}{l}{2，n=1}\\{{2}^{n-1}，n≥2}\end{array}\right.$，
（2）∵b_n=a_nlog₂a_n，
∴b_n=$\left\{\begin{array}{l}{2，n=1}\\{（n-1）{2}^{n-1}，n≥2}\end{array}\right.$，
∴T_n=2+1•2+2•2²+…+（n-1）•2^n-1，
令M_n=1•2+2•2²+…+（n-1）•2^n-1，
2M_n=1•2²+2•2³+…+（n-2）•2^n-1+（n-1）•2ⁿ，
两式相减可得，-M_n=2+2²+2³+…+2^n-1-（n-1）•2ⁿ，
=2ⁿ-2-（n-1）•2ⁿ=（2-n）•2ⁿ-2，
∴M_n=（n-2）•2ⁿ+2
∴T_n=（n-2）•2ⁿ+4．

点评 本题考查了数列的递推公式、前n项和公式，以及错位相减求数列的和的应用，考查了计算能力．