Question

10．已知平行四边形ABCD中，$|\overrightarrow{AB}|=3$，$|\overrightarrow{AD}|=2$，对角线AC交BD于点O，AB上一点E满足$\overrightarrow{OE}•\overrightarrow{BD}=0$，F为AC上任意一点．
（Ⅰ）求$\overrightarrow{AE}•\overrightarrow{BD}$值；
（Ⅱ）若$|\overrightarrow{BD}|=\sqrt{10}$，求$\overrightarrow{AF}•\overrightarrow{EF}$的最小值．

Answer 1

分析 （I）$\overrightarrow{AB}，\overrightarrow{AD}$表示出$\overrightarrow{AE}，\overrightarrow{BD}$，代入平面向量的数量积公式运算即可；
（II）利用余弦定理求出cos∠BAD，根据（I）得出$\overrightarrow{AE}=\frac{1}{3}\overrightarrow{AB}$，设$\overrightarrow{AF}=y\overrightarrow{AC}$，得出$\overrightarrow{AF}•\overrightarrow{EF}$关于y的二次函数，从而得出最小值．

解答 解：（Ⅰ）由平行四边形ABCD知OA=OC，OB=OD，
∴$\overrightarrow{AO}=\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}+\frac{1}{2}\overrightarrow{AD}$，$\overrightarrow{BD}=\overrightarrow{AD}-\overrightarrow{AB}$，
∵$\overrightarrow{AE}=\overrightarrow{AO}+\overrightarrow{OE}=\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}+\frac{1}{2}\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{OE}$，
∴$\overrightarrow{AE}•\overrightarrow{BD}=（\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}+\frac{1}{2}\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{OE}）•\overrightarrow{BD}=（\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}+\frac{1}{2}\overrightarrow{AD}）•（\overrightarrow{AD}-\overrightarrow{AB}）+\overrightarrow{OE}•\overrightarrow{BD}$，
而$\overrightarrow{OE}•\overrightarrow{BD}=0$，$|\overrightarrow{AB}|=3$，$|\overrightarrow{AD}|=2$，
∴$\overrightarrow{AE}•\overrightarrow{BD}=\frac{1}{2}{\overrightarrow{AD}^2}-\frac{1}{2}{\overrightarrow{AB}^2}=-\frac{5}{2}$．
（Ⅱ）∵$|\overrightarrow{BD}|=\sqrt{10}$，
∴${\overrightarrow{BD}^2}={（\overrightarrow{AD}-\overrightarrow{AB}）^2}=4+9-2×2×3cos∠BAD=10$，
∴$cos∠BAD=\frac{1}{4}$，
∴${\overrightarrow{AC}^2}={（\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}）^2}=4+9+2×2×3cos∠BAD=16$，$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AD}=\frac{3}{2}$，
设$\overrightarrow{AE}=x\overrightarrow{AB}$，由（Ⅰ）$\overrightarrow{AE}•\overrightarrow{BD}=-\frac{5}{2}=x\overrightarrow{AB}•（\overrightarrow{AD}-\overrightarrow{AB}）=x\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AD}-x{\overrightarrow{AB}^2}$，
解得$x=\frac{1}{3}$，即$\overrightarrow{AE}=\frac{1}{3}\overrightarrow{AB}$，
再设$\overrightarrow{AF}=y\overrightarrow{AC}$，y∈[0，1]，
∴$\overrightarrow{AF}•\overrightarrow{EF}=\overrightarrow{AF}•（\overrightarrow{AF}-\overrightarrow{AE}）={\overrightarrow{AF}^2}-\overrightarrow{AF}•\overrightarrow{AE}$=${y^2}{\overrightarrow{AC}^2}-y\overrightarrow{AC}•\frac{1}{3}\overrightarrow{AB}=16{y^2}-y（\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}）•\frac{1}{3}\overrightarrow{AB}$=$16{y^2}-\frac{y}{3}{\overrightarrow{AB}^2}-\frac{y}{3}\overrightarrow{AD}•\overrightarrow{AB}=16{y^2}-\frac{7}{2}y=16{（y-\frac{7}{64}）^2}-\frac{49}{256}$．
显然y∈[0，1]，当$y=\frac{7}{64}$时，$\overrightarrow{AF}•\overrightarrow{EF}$有最小值为$-\frac{49}{256}$．

点评 本题考查了平面向量的基本定理，平面向量的数量积运算，属于中档题．