Question

设数列{a_n}的前n项和为S_n，且对任意的n∈N^*，都有a_n＞0，S_n=

a 3 1 + a 3 2 + a 3 3 +…+ a 3 n

．
（1）求a₁，a₂的值．
（2）对于数列{a_n}，求证：a_2n+1ⁿ≥a_2nⁿ+a_2n-1ⁿ
（3）已知椭圆方程C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0），数列{a_n}中的a₂，a₄分别是椭圆的短半轴长的平方和长半轴长的平方，过点P(

2

3

，-

1

3

)而不过点Q(

2

，1)的动直线l交椭圆C于A、B两点，记△QAB的面积为S，证明：S＜3．

Answer 1

考点：数列与解析几何的综合,数列递推式

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）由题意可知a1=S1=

a13

，求解得到a₁=1，a1+a2=

a13+a23

，将a₁=1代入a₂=2．
（2）由，S_n=

a 3 1 + a 3 2 + a 3 3 +…+ a 3 n

，得a₁³+a₂³++a_n³=（a₁+a₂++a_n）²，得a_n+1²-a_n²=a_n+1+a_n，∴a_n+1-a_n=1．由此能够导出a_n=n，求出a_2n+1ⁿ，a_2nⁿ+a_2n-1ⁿ，
由分析法结合二项式定理可知原不等式成立．
（3）首先证明三角形为直角三角形，然后分QA或QB的斜率不存在和斜率都存在时证明，当QA或QB的斜率不存在时直接求出三角形的面积，当斜率都存在时设出QA的方程，
和椭圆联立后求得|QA|，再求出|QB|，代入面积公式后整理，然后换元，利用三角函数的有界性证得答案．

解答： （1）解：在S_n=

a 3 1 + a 3 2 + a 3 3 +…+ a 3 n

中，
当n=1时，a1=S1=

a13

，即a12=a13，
∵a₁＞0，∴a₁=1，
当n=2时，(a1+a2)2=a12+a23，即1+2a2+a22=1+a23，
解得：a₂=-1或a₂=2．
∵a₂＞0，∴a₂=2；
证明：由S_n=

a 3 1 + a 3 2 + a 3 3 +…+ a 3 n

，得
a₁³+a₂³+a₃³+…+a_n³=S_n² ①，
当n≥2时，a₁³+a₂³+a₃³+…+a_n-1³=S_n-1² ②，
①-②得，a_n³=S_n²-S_n-1²=（S_n-S_n-1）（S_n+S_n-1），
∵a_n＞0，∴a_n²=S_n+S_n-1=2S_n-a_n ③，
∵a₁=1适合上式．
当n≥2时，a_n-1²=2S_n-1-a_n-1 ④，
③-④得：a_n²-a_n-1²=2（S_n-S_n-1）-a_n+a_n-1=2a_n-a_n+a_n-1=a_n+a_n-1
∵a_n+a_n-1＞0，∴a_n-a_n-1=1．
∴数列{a_n}是等差数列，首项为1，公差为1，可得a_n=n．
则a_2n+1ⁿ=（2n+1）ⁿ，
a_2nⁿ+a_2n-1ⁿ=（2n）ⁿ+（2n-1）ⁿ．
要证a_2n+1ⁿ≥a_2nⁿ+a_2n-1ⁿ，
只需证（1+(1+

1

2n

)n≥1+(1-

1

2n

)n，
只需证(1+

1

2n

)n-(1-

1

2n

)n≥1，
由于(1+

1

2n

)n-(1-

1

2n

)n=[

C

0 n

+

C

1 n

(

1

2n

)+

C

2 n

(

1

2n

)2+

C

3 n

(

1

2n

)3+…]-[

C

0 n

-

C

1 n

(

1

2n

)+

C

2 n

(

1

2n

)2-

C

3 n

(

1

2n

)3+…]
=2[

C

1 n

(

1

2n

)+

C

3 n

(

1

2n

)3+

C

5 n

(

1

2n

)5+…]
=1+2[

C

3 n

(

1

2n

)3+

C

5 n

(

1

2n

)5+…]≥1．
（3）证明：由（2）知，b2=a2=2，a2=a4=4，
∴椭圆方程为

x2

4

+

y2

2

=1．
当过点P(

2

3

，-

1

3

)的直线l的斜率不存在时，解得A（

2

3

，-

4

3

），B（

2

3

，

4

3

），
又点Q(

2

，1)，可得∠AQB=90°；
当过点P(

2

3

，-

1

3

)的直线l的斜率存在时，设直线方程为y=kx+b，
∵P在直线上，得b=-

1

3

(

2

k+1)，
联立直线方程和椭圆方程得：（2k²+1）x²+4kbx+2b²-4=0．
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
则x1+x2=-

4kb

2k2+1

，x1x2=

2b2-4

2k2+1

，
yy1+y2=k(x1+x2)+2b=

2b

2k2+1

，y1y2=

b2-4k2

2k2+1

．

QA

=(x1-

2

，y1-1)，

QB

=(x2-

2

，y2-1)，
则

QA

•

QB

=x1x2-

2

(x1+x2)+2+y1y2-(y1+y2)+1
=

2b2-4

2k2+1

-

2

(-

4kb

2k2+1

)+2+

b2-4k2

2k2+1

-

2b

2k2+1

+1=0．
∴∠AQB=90°．
则△AQB为直角三角形．
当QA或QB的斜率不存在时，求得S△AQB=2

2

＜3．
当QA，QB的斜率都存在时，不妨设QA：y=m(x-

2

)+1，代入椭圆方程得，
(2m2+1)x2-4m(

2

m-1)x+2(

2

m-1)2-4=0．
则|QA|=

m2+1

•

[ 4m( 2 m-1) 2m2+1 ]2-4 2( 2 m-1)2 2m2+1

=

m2+1

•

8 | 2 m+1|

2m2+1

．
同理求得|QB|=

m2+1

•

8 | 2 -m|

m2+2

．
∴S=

1

2

|QA|•|QB|=

1

2

m2+1

•

8 | 2 m+1|

2m2+1

•

m2+1

8 | 2 -m|

m2+2

=4

| 2 • 1-m2 m2+1 + m m2+1 |

2+( m m2+1 )2

．
令

1-m2

m2+1

=cosθ，

2m

m2+1

=sinθ，则S=

| 2 cosθ+ 1 2 sinθ|

2+ 1 4 sin2θ

．
由|

2

cosθ+

1

2

sinθ|=

2+ 1 4

|sin(θ+α)|≤

2+ 1 4

=

3

2

，
2+

1

4

sin2θ≥2，且“=”不同时取得，
∴S＜4×

3 2

2

=3．
综上，S＜3．

点评：本题主要考查数列、不等式、二项式定理等知识，考查化归与转化的数学思想方法，以及抽象概括能力、运算求解能力和创新意识，考查了学生的运算能力，是压轴题．．