Question

已知x，y为正实数，且满足2x²+8y²+xy=2，则x+2y的最大值是

 

．

Answer 1

考点：基本不等式

专题：不等式的解法及应用

分析：令x+2y=t，则x=t-2y，问题等价于方程14y²-7ty+2t²-2=0有正数解，利用△≥0即可得出．

解答： 解：令x+2y=t，则x=t-2y，
方程等价为2（t-2y）²+（t-2y）y+8y²=2，
即14y²-7ty+2t²-2=0，
要使14y²-7ty+2t²-2=0有解，
则△=（-7t）²-4×14×（2t²-2）≥0，-

-7t

14

＞0，

2t2-2

14

＞0．
即63t²≤56×2，t＞1．
∴t²≤

16

9

，t＞1
即1＜t≤

4

3

，当t=

4

3

时，y=

1

3

，x=

2

3

满足条件．
∴x+2y的最大值等于

4

3

．
故答案为：

4

3

．

点评：本题考查了通过代换转化为一元二次方程有实数根的情况，考查了推理能力与计算能力，属于难题．