Question

已知实数a，b满足ab=1，且a＞b≥

2

3

，则

a-b

a2+b2

的最大值为

 

．

Answer 1

考点：有理数指数幂的化简求值

专题：计算题,不等式的解法及应用

分析：由题意，化简

a-b

a2+b2

=

a-b

(a-b)2+2ab

=

1

(a-b)+ 2 a-b

，求出a-b的取值范围，从而求

a-b

a2+b2

的最大值．

解答： 解：由题意，

a-b

a2+b2

=

a-b

(a-b)2+2ab

，
∵ab=1，a＞b≥

2

3

，
∴0＜a-b≤

3

2

-

2

3

=

5

6

，
∴

a-b

(a-b)2+2ab

=

a-b

(a-b)2+2

=

1

(a-b)+ 2 a-b

，
∵y=x+

2

x

在（0，

2

）上是减函数，
∴

1

(a-b)+ 2 a-b

≤

1

5 6 + 2 5 6

=

30

97

．
故答案为：

30

97

．

点评：本题考查了基本不等式的应用，注意0＜a-b≤

5

6

，故

1

(a-b)+ 2 a-b

不能用基本不等式求最值，转到单调性求最值，属于中档题．