Question

一个三棱锥的三视图及直观图如图所示，E，F，G分别是A₁B，B₁C₁，AA₁的中点，AA₁⊥底面ABC
（1）求四棱锥B-ACC₁A₁的体积；
（2）求证：B₁C⊥平面A₁BC₁；
（3）求证：EF∥平面ACC₁A₁
．

Answer 1

考点：直线与平面平行的判定,直线与平面垂直的判定

专题：空间位置关系与距离

分析：（1）由已知中的三视图，我们易得到这是一个底面为等腰直角三角形的直三棱柱，且底面直角边和棱柱高均为a，代入棱柱体积公式，即可得到答案．
（2）连AB₁，AC₁，由矩形的性质及三角形中位线定理，易得MN∥AC₁，再由线面平行的判定定理，即可得到MN∥平面AA₁C₁C；

解答： 解：（1）如图可知，在这个多面体的直观图中，
AA₁⊥平面ABC，且AB⊥AC，AB=AC=CC₁=a，
所以V=

1

2

a²×a=

1

2

a3；
（2）由三视图得到几何体是直三棱柱，并且底面是等腰直角三角形，
所以A₁C₁⊥面BCC₁B₁，所以A₁C₁⊥B₁C，又四边形BCC₁B₁为正方形，所以B₁C⊥BC₁，
所以AB₁C⊥平面A₁BC₁
（3）连AB₁，AC₁，由矩形性质得：AB₁与A₁B交于点E，
在△AB₁C₁中，由中位线性质得EF∥AC₁，
又因为EF?平面AA₁C₁C，
所以EF∥平面AA₁C₁C．

点评：本题考查的知识点是直线与平面平等的判定，直线与平面垂直的判定，其中熟练掌握空间直线与平面平行及垂直的判定定理，性质定理、定义及几何特征，建立良好的空间想像能力是解答本题的关键．