Question

已知椭圆的两条对称轴是坐标轴，O是坐标原点，F是一个焦点，A是一个顶点，若椭圆的长轴长为6，且cos∠OFA=

2

3

，求椭圆方程．

Answer 1

考点：椭圆的标准方程

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：首先，对椭圆的焦点位置进行讨论：当椭圆的焦点在x轴上时，和椭圆的焦点在y轴上时，然后，利用待定系数法进行求解．

解答： 解：当椭圆的焦点在x轴上时，设方程为：

x2

a2

+

y2

b2

=1，（a＞b＞0），
∴2a=6，
∴a=3，
cos∠OFA=

2

3

=

c

a

，
∴c=2，
∴b²=a²-c²=5，
∴

x2

9

+

y2

5

=1．
当椭圆的焦点在y轴上时，设方程为：

y2

a2

+

x2

b2

=1，（a＞b＞0），
∴2a=6，
∴a=3，
cos∠OFA=

2

3

=

c

a

，
∴c=2，
∴b²=a²-c²=5，
∴

y2

9

+

x2

5

=1．
综上，当椭圆的焦点在x轴上时，方程为：

x2

9

+

y2

5

=1．
当椭圆的焦点在y轴上时，方程为：

y2

9

+

x2

5

=1．

点评：本题重点考查了椭圆的概念、性质和方程，属于中档题．