Question

平面直角坐标系xOy中，直线2x+y+2=0经过椭圆M：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的左焦点且与椭圆M交于A，B两点，其中点A是椭圆的一个顶点，
（Ι）求椭圆M的方程；
（Ⅱ）C，D为M上的两点，若四边形ACBD的对角线CD⊥AB，求四边形ACBD面积S的最大值．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的关系,椭圆的标准方程

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程,圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：（ I）求出直线2x+y+2=0与两坐标轴的交点，得出椭椭圆M的左焦点与一个顶点A，得b、c的值，再求出a²的值即得椭圆方程；
（ II）设出B、C、D的坐标，直线CD的方程，由直线2x+y+2=0与椭圆M的方程组成方程组，求出|AB|的长，
直线CD的方程与椭圆方程组成方程组，求出|CD|的长；计算四边形ACBD的面积S即可求出S的最大值．

解答： 解：（ I）由题知，直线2x+y+2=0与两坐标轴的交点为F（-1，0），A（0，-2），
∴椭椭圆M的左焦点为F（-1，0），顶点A为（0，-2），
∴b=2，c=1，a²=b²+c²=5；
∴椭圆M的方程为

x2

5

+

y2

4

=1；   
（ II）由题意，A（0，2），设B（x₂，y₂），C（x₃，y₃），D（x₄，y₄）；
直线CD的方程为y=

1

2

x+b，
则直线2x+y+2=0与椭圆M的方程组成方程组

x2 5 + y2 4 =1 y=-2x-2

，
消去y，整理得：
6x²+10x=0，
解得x₁=0，x₂=-

5

3

；
∴|AB|=

1+k2

|x₁-x₂|=

1+(-2)2

|0+

5

3

|=

5 5

3

；
直线CD的方程与椭圆方程组成方程组

x2 5 + y2 4 =1 y= 1 2 x+b

，
消去y，整理得：
21x²+20bx+20b²-80=0，
∵△=320（21-4b²）≥0，
∴x₃+x₄=-

20b

21

，x₃x₄=

20b2-80

21

，
∴|CD|=

1+( 1 2 )2

•|x₃-x₄|
=

5

2

×

320(21-4b2)

21

≤

20 21

21

；
四边形ACBD的面积为S=

1

2

|AB||CD|≤

5 5

3

×

20 21

21

=

50 105

63

，
即四边形ACBD面积S的最大值为

50 105

63

．

点评：本题考查了求椭圆的标准方程以及直线与椭圆的综合应用问题，也考查了一定的逻辑推理能力与计算能力，是综合性题目．