Question

已知x，y，z∈R⁺，
（1）若x+y+z=6，求x²+4y²+4z²的最小值；
（2）求（

1

x

+

1

2y

+

1

3z

）³+

1

12

（xyz）²的最小值．

Answer 1

考点：基本不等式

专题：不等式的解法及应用

分析：（1）利用柯西不等式即可得出；
（2）两次利用基本不等式的性质即可得出．

解答： 解：（1）∵[x²+（2y）²+（2z）²].[12+(

1

2

)2+(

1

2

)2]≥(x+2y×

1

2

+2z×

1

2

)2=（x+y+z）²=6²=36，
∴x²+4y²+4z²≥

36

3 2

=24，当且仅当x=4y=4z=4时取等号．
（2）（

1

x

+

1

2y

+

1

3z

）³+

1

12

（xyz）²≥(3

3	1 x • 1 2y • 1 3z

)3+

1

12

(xyz)2
=

9

4xyz

+

9

4xyz

+

(xyz)2

12

≥3

3	9 4xyz × 9 4xyz × (xyz)2 12

=

9

4

．
当且仅当x=2y=3z，xyz=3，即x=

3	18

时取等号．

点评：本题考查了柯西不等式的性质、基本不等式的性质，考查了变形能力与计算能力，属于中档题．