Question

若关于x的方程x²+x•cosαcosβ+cosγ-1=0的两个根x₁，x₂，满足x1+x2=

x1x2

2

，则以α，β，γ为内角的三角形的形状是

 

．

Answer 1

考点：三角形的形状判断

专题：解三角形

分析：利用根与系数关系得到x₁+x₂=-cosαcosβ，x₁x₂=cosγ-1，结合x1+x2=

x1x2

2

利用三角恒等变换得到cos（α-β）=1，进一步得到α=β，从而判断三角形的形状．

解答： 解：由方程x²+x•cosαcosβ+cosγ-1=0的两个根x₁，x₂，
得x₁+x₂=-cosαcosβ，x₁x₂=cosγ-1，
由x1+x2=

x1x2

2

，得
-cosαcosβ=

cosγ-1

2

，
由α+β+γ=π，
-cosαcosβ=

-cos(α+β)-1

2

，
整理得：cos（α-β）=1．
∵0＜α＜π，0＜β＜π，
∴-π＜α-β＜π，
则α-β=0，α=β．
∴以α，β，γ为内角的三角形的形状是等腰三角形．
故答案为：等腰三角形．

点评：本题考查了三角形的形状判断，考查了两角和与差的余弦，是基础题．