Question

过M（2，1）的直线l分别交x轴正方向及直线y=3x（位于第一象限部分）于A、B，求使S_△AOB最小的直线l的方程．

Answer 1

考点：直线的一般式方程

专题：直线与圆

分析：写出直线l的方程为：y-1=k（x-2），求出直线在x轴上的截距，和直线y=3x联立求出交点的纵坐标，由面积公式得到三角形的面积，利用判别式法求出三角形面积的最小值，进一步求出直线的斜率，则直线方程可求．

解答： 解：由题意得直线l的方程为：y-1=k（x-2），
取y=0，得|OA|=|

2k-1

k

|，
联立

y=3x y-1=k(x-2)

，解得yB=

3-6k

3-k

，
∴S_△AOB=

1

2

|OA||yB|=

1

2

|

2k-1

k

||

3-6k

3-k

|
=|

-12k2+12k-3

-2k2+6k

|．
令t=

-12k2+12k-3

-2k2+6k

，
则（12-2t）k²+（6t-12）k+3=0，
由△=（6t-12）²-12（12-2t）≥0，得
解得t≤0或t≥

10

3

．
∴S_△AOB最小值为

10

3

．
此时k=-

3

4

．
∴l：3x+4y-10=0；
当直线l的斜率不存在时，直线方程为x=2，代入y=3x得交点纵坐标为6，
此时S_△AOB=

1

2

×2×6=6＞

10

3

，不合题意．
故使S_△AOB最小的直线l的方程为3x+4y-10=0．

点评：本题考查了直线的一般式方程，考查了利用判别式法求函数的最值，是中档题．