Question

命题p：方程

x2

k-3

+

y2

k+3

=1（k∈R）表示双曲线；
命题q：不等式kx²+kx+1＞0的解集为R；
若命题p∨q为真命题，p∧q为假命题，求实数k的取值范围．

Answer 1

考点：命题的真假判断与应用

专题：简易逻辑

分析：由方程

x2

k-3

+

y2

k+3

=1（k∈R）表示双曲线求出k的范围，由不等式kx²+kx+1＞0的解集为R求出k的范围，然后由p∨q为真命题，p∧q为假命题得到p，q的真假情况，转化为集合间的关系得答案．

解答： 解：方程

x2

k-3

+

y2

k+3

=1（k∈R）表示双曲线，则（k-3）（k+3）＜0，即-3＜k＜3．
不等式kx²+kx+1＞0的解集为R?k=0或

k＞0 k2-4k＜0

，解得：0≤k＜4．
命题p∨q为真命题，p∧q为假命题，说明p、q一真一假．
若p真q假：则k的范围是{k|k＜0或k≥4}∩{k|-3＜k＜3}=（-3，0）；
若p假q真：则k的范围是{k|k≤-3或k≥3}∩{k|0≤k＜4}=[3，4）．
综上，k的取值范围是：（-3，0）∪[3，4）．

点评：本题考查了命题的真假判断与应用，体现了数学转化思想方法，训练了补集思想在解题中的应用，是中档题．