Question

设a∈R，（x-a）⁸的二项展开式中含x⁵项的系数为7，则

lim

n→∞

(a+a2+…+an)=

 

．

Answer 1

考点：二项式系数的性质

专题：二项式定理

分析：由条件求得a=-

1

2

，可得a+a²+a³+…+aⁿ 的值，从而求得 

lim

n→∞

(a+a2+…+an)的值．

解答： 解：由于（x-a）⁸的二项展开式中含x⁵项的系数为

C

3 8

•（-a）³=7，∴a=-

1

2

．
∴a+a²+a³+…+aⁿ=

a(1-an)

1-a

=

- 1 2 •[1-(- 1 2 )n]

1+ 1 2

=-

1

3

[1-(-

1

2

)n]=-

1

3

+

1

3

•(-

1

2

)n，
∴

lim

n→∞

(a+a2+…+an)=

lim

n→∞

[-

1

3

+

1

3

•(-

1

2

)n]=-

1

3

，
故答案为：-

1

3

．

点评：本题主要考查二项展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，二项式系数的性质，等比数列的前n项和公式，属于基础题．