Question

已知数列{a_n}满足a₁=3，a_n+1=

an-1

an+1

（n∈N^*），T_n为数列{a_n}的前n项之积，则T₂₀₁₀=（　　）

• A、

  3

  2

• B、-

  1

  6

• C、

  2

  3

• D、-6

Answer 1

考点：数列的求和,数列递推式

专题：点列、递归数列与数学归纳法

分析：依题意，可求得a₁•a₂•a₃•a₄=a₅•a₆•a₇•a₈=…=a₂₀₀₅•a₂₀₀₆•a₂₀₀₇•a₂₀₀₈=1，数列{a_n}是以4为周期的函数数列，从而可得答案．

解答： 解：∵a₁=3，a_n+1=

an-1

an+1

（n∈N^*），
∴a₂=

3-1

3+1

=

1

2

，a₃=

1 2 -1

1 2 +1

=-

1

3

，a₄=

- 1 3 -1

- 1 3 +1

=-2，a₅=

-2-1

-2+1

=3，…
即a_n+4=a_n，
∴数列{a_n}是以4为周期的函数，
又a₁•a₂•a₃•a₄=a₅•a₆•a₇•a₈=…=a₂₀₀₅•a₂₀₀₆•a₂₀₀₇•a₂₀₀₈=1，T_n为数列{a_n}的前n项之积，
∴T₂₀₁₀=（a₁•a₂•a₃•a₄）•（a₅•a₆•a₇•a₈）…（a₂₀₀₅•a₂₀₀₆•a₂₀₀₇•a₂₀₀₈）•a₂₀₀₇•a₂₀₀₈=a₁•a₂=

3

2

，
故选：A．

点评：本题考查数列的递推式的应用，突出考查数列的求和，分析得到数列{a_n}是以4为周期的函数数列，且a₁•a₂•a₃•a₄=1是关键，考查推理与运算能力，属于中档题．