Question

已知m∈R，设命题P：?x∈{x|-2＜x＜2}，使等式x²-2x-m=0成立；命题Q：函数f（x）=3x²+2mx+m+

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有两个不同的零点．“P∨Q”为真命题，“P∧Q”为假命题，求实数m的取值范围．

Answer 1

考点：复合命题的真假

专题：函数的性质及应用

分析：本题先对命题p、q进行化简转化，再将条件“P∨Q”为真命题，“P∧Q”为假命题，转化为命题p、q中一个命题为真，另一个命题为假，得到关于m的不等式，解不等式，得到本题结论．

解答： 解：命题p等价于方程x²-2x-m=0在区间（-2，2）上有解．
记g（x）=x²-2x-m，
则

g(1)≤0 g(-2)＞0

，
∴

-m-1≤0 8-m＞0

，
∴-1≤m＜8．
命题q：由方程3x2+2mx+m+

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=0的根的判别式
△=4m2-12(m+

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)=4m²-12m-16＞0，
得m＜-1或m＞4．
∵“P∨Q”为真命题，“P∧Q”为假命题，
∴命题p、q中，一个为真，另一个为假．
∴当命题p真q假时，m＜-1或m≥8，
当命题p假q真时，-1≤m≤4．
∴m≤4或m≥8．
实数m的取值范围是（-∞，4]∪[8，+∞）．

点评：本题考查了一元二次方程的根的存在性、“或”命题和“且”命题的真假判断，本题计算量较大，属于中档题．