Question

如图，已知AB是⊙O的直径，CD是⊙O的切线，C为切点，AD⊥CD交⊙O于点E，连接AC、BC、OC、CE，延长AB交CD于F．
（1）证明：BC=CE；
（2）证明：△BCF～△EAC．

Answer 1

考点：相似三角形的性质,与圆有关的比例线段

专题：选作题,立体几何

分析：（1）先证明OC⊥CD，可得OC∥AD，∠OCA=∠CAE，再证明∠OAC=∠OCA，可得∠OAC=∠CAE，即可证明BC=CE；
（2）证明△BCF～△EAC，只需证明∠FCB=∠CAE，∠FBC=∠CEA即可．

解答： 证明：（1）∵CD为圆O的切线，C为切点，AB为圆O的直径，
∴OC⊥CD…（1分）
又AD⊥CD，∴OC∥AD，∴∠OCA=∠CAE…（3分）
又OC=OA，∴∠OAC=∠OCA，
∴∠OAC=∠CAE，∴BC=CE…（5分）
（2）由弦切角定理可知，∠FCB=∠OAC，
∴∠FCB=∠CAE，
∵四边形ABCE为圆O的内接四边形，
∴∠ABC+∠CEA=180°…（8分）
又∠ABC+∠FBC=180°，
∴∠FBC=∠CEA，
∴△BCF∽△EAC…（10分）

点评：本题考查三角形相似的证明，考查圆的切线的性质，考查弦切角定理，比较基础．