Question

在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知sin

C

2

=

10

4

（1）求cosC的值：
（2）若△ABC的面积为△，且sin²A+sin²B=

13

16

sin²C，求△ABC的周长．

Answer 1

考点：余弦定理,正弦定理

专题：三角函数的求值,解三角形

分析：（1）由二倍角公式及已知即可代入求值．
（2）由正弦定理化简已知可得：a²+b²=

13

16

c²；由余弦定理得：a²+b²-c²=2abcosC，可解得ab=

3

8

c²；由S_△ABC=

3 15

4

及sinC=

1-cos2C

=

15

4

，可解得ab=6，联立方程即可解得a，b，c的值，从而可求周长．

解答： 解：（1）∵sin

C

2

=

10

4

，
∴cosC=1-2sin²

C

2

=-

1

4

．
（2）∵sin²A+sin²B=

13

16

sin²C，
∴由正弦定理可得：a²+b²=

13

16

c²…①
由余弦定理得：a²+b²-c²=2abcosC，可解得ab=

3

8

c²…②
由S_△ABC=

3 15

4

及sinC=

1-cos2C

=

15

4

，可解得ab=6…③
由①②③可解得：a=2，b=3，c=4或a=3，b=2，c=4．
经检验，满足题意，所以△ABC的周长是9．

点评：本题主要考察了二倍角公式、正弦定理、余弦定理、三角形面积公式的应用，属于基础题．