题目内容

心理学家分析发现视觉和空间能力与性别有关，某数学兴趣小组为了验证这个结论，从兴趣小组中按分层抽样的方法抽取50名同学（男30女20），给所有同学几何题和代数题各一题，让各位同学自由选择一道题进行解答．选题情况如右表：（单位：人）
几何题代数题总计
男同学22830
女同学81220
总计302050
（1）能否据此判断有97.5%的把握认为视觉和空间能力与性别有关？
（2）经过多次测试后，甲每次解答一道几何题所用的时间在5～7分钟，乙每次解答一道几何题所用的时间在6～8分钟，现甲、乙各解同一道几何题，求乙比甲先解答完的概率．
（3）现从选择做几何题的8名女生中任意抽取两人对她们的答题情况进行全程研究，记甲、乙两女生被抽到的人数为 X，求 X的分布列及数学期望 EX．
附表及公式
P（k2≥k）0.150.100.050.0250.0100.0050.001
k2.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828
K2=
n(ad-bc)2
(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)
．
考点：独立性检验的应用,离散型随机变量的期望与方差
专题：综合题,概率与统计
分析：（1）根据所给的列联表得到求观测值所用的数据，把数据代入观测值公式中，做出观测值，同所给的临界值表进行比较，得到所求的值所处的位置，得到结论；
（2）利用面积比，求出乙比甲先解答完的概率；
（3）确定X的可能值有0，1，2．依次求出相应的概率求分布列，再求期望即可．
解答： 解：（1）由表中数据得K2的观测值K2=
50×(22×12-8×8)2
30×20×30×20
=
50
9
≈5.556＞5.024，
所以根据统计有97.5%的把握认为视觉和空间能力与性别有关；

（2）设甲、乙解答一道几何题的时间分别为x、y分钟，则基本事件满足的区域为
5≤x≤7
6≤y≤8
（如图所示）

设事件A为“乙比甲先做完此道题”则满足的区域为x＞y，
∴由几何概型P(A)=
1
2
×1×1
2×2
=
1
8
即乙比甲先解答完的概率为
1
8
；

（3）由题可知在选择做几何题的8名女生中任意抽取两人，抽取方法有C82=28种，其中甲、乙两人没有一个人被抽到有C62=15种；恰有一人被抽到有C21•C61=12种；两人都被抽到有C22=1种，
∴X可能取值为0，1，2，P(X=0)=
15
28
，P(X=1)=
12
28
=
3
7
，P(X=2)=
1
28

X的分布列为：
X012
P
15
28
12
28
1
28
∴EX=0×
15
28
+1×
12
28
+2×
1
28
=
1
2
．
点评：本题考查离散型随机变量及其分布列、独立性检验的应用，考查根据列联表做出观测值，根据所给的临界值表进行比较，本题是一个综合题．
练习册系列答案
相关题目
如图，四边形ABED内接于⊙O，AB∥DE，AC切⊙O于A，交ED延长线于C．若AD=BE=
2
，CD=1，则AB=
 
．
函数y=（ex-e-x）sinx的图象（部分）大致是（　　）
A、
B、
C、
D、
下列选项叙述错误的是（　　）
A、命题“若x≠0，则ex≠1”的逆否命题是“若ex=1，则x=0”
B、“x＞2”是“
1
x-1
＜1”的充分不必要条件
C、若命题p：?x∈R，x2+x+1＞0，则￢p：?x0∈R，使得x02+x0+1≤0
D、若p∧q为假命题，则p，q均为假命题
甲、乙两人从4门课程中各选修2门，则甲、乙两人所选的课程中有一门相同的选法有（　　）
A、6种B、12种
C、16种D、24
设数列{an}的前n项和为Sn，a1=1，且an=
Sn
n
+n-1．
（1）证明：数列{an}为等差数列；
（2）求数列{3an}的前n项和Tn．
已知函数y=ax2+2x+1，当x∈[1，2]，总有y∈[1，4]则a的取值范围为
 
．
如图，已知AB是⊙O的直径，CD是⊙O的切线，C为切点，AD⊥CD交⊙O于点E，连接AC、BC、OC、CE，延长AB交CD于F．
（1）证明：BC=CE；
（2）证明：△BCF～△EAC．
已知函数f（x）=ex，对于曲线y=f（x）上横坐标城等差数列的三个点A、B、C，给出以下四个判断：①△ABC一定是钝角三角形；②△ABC可能是直角三角形；③△ABC可能是等腰三角形；④△ABC不可能是等腰三角形．其中正确的判断是（　　）
A、①③B、①④C、②③D、②④

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