Question

已知线性变化T把点（1，-1）变成了（1，0），把点（1，1）变成了点（0，1）．
（1）求变换T所对应的矩阵M；
（2）求直线y=-1在变换T的作用下得到直线方程．

Answer 1

考点：几种特殊的矩阵变换

专题：矩阵和变换

分析：本题（1）可以用待定系数法设出矩阵，通过矩阵与向量的积得到关于参数的方程，解方程组求出矩阵；（2）通过矩阵变换得到曲线在变换前后的坐标关系，用代入法求出所得到曲线的方程，得到本题结论．

解答： 解：（1）设T=

a b c d

，
∵

a b c d

•

1 -1

=

1 0

，

a b c d

•

1 1

=

0 1

，
∴

a-b=1 c-d=0 a+b=0 c+d=1

，
∴

a= 1 2 b=- 1 2 c= 1 2 d= 1 2

，
∴T=

1 2 - 1 2 1 2 1 2

．
（2）在直线y=-1取一点P（x₀，-1）在变换T的作用下得到的点为Q（x，y）．
∵

1 2 - 1 2 1 2 1 2

•

x0 -1

=

x y

，
∴

x= 1 2 x0+ 1 2 y= 1 2 x0- 1 2

，
∴x-y=1．
∴直线y=-1在变换T的作用下得到直线方程为：x-y-1=0．

点评：本题考查了矩阵与向量的积、矩阵变换与曲线的方程的关系，本题难度不大，属于基础题．