Question

已知数列{a_n}的前五项是一个以-2为首项，以3为公差的等差数列，从第五项起数列{a_n}成等比数列，若S_n为数列{a_n}的前n项和，且

lim

n→∞

S_n=40，求
（1）数列{a_n}的通项公式
（2）数列{a_n}的前n项和S_n的表达式．

Answer 1

考点：数列的极限,数列的求和

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）由已知结合数列极限求得等比数列的公比，然后分段写出等比数列的通项公式；
（2）分数列为等差数列和等比数列两段分段写出数列{a_n}的前n项和S_n的表达式．

解答： 解：（1）由题意知，S4=4×(-2)+

4×3×3

2

=10，a₅=-2+（5-1）×3=10．
则S_n=S₄+a₅+a₆+…+a_n=10+

10(1-qn-4)

1-q

．
由

lim

n→∞

S_n=40，得

lim

n→∞

[10+

10(1-qn-4)

1-q

]=10+

lim

n→∞

10(1-qn-4)

1-q

=40，
∴

10

1-q

=30，解得q=

2

3

．
则当n≤5时，a_n=-2+3（n-1）=3n-5；
当n＞5时，an=10•(

2

3

)n-5．
故an=

3n-5，n≤5 10•( 2 3 )n-5，n＞5

；
（2）当n≤5时，Sn=-2n+

n(n-1)

2

×3=

3

2

n2-

7

2

n；
当n＞5时，Sn=20+

10× 2 3 [1-( 2 3 )n-5]

1- 2 3

=40-20•(

2

3

)n-5．
故Sn=

3 2 n2- 7 2 n，n≤5 40-20•( 2 3 )n-5，n＞5

．

点评：本题考查了数列极限，考查了等差数列和等比数列的通项公式，考查了等差数列和等比数列的前n项和，是中档题．