Question

已知直线：

sinθ

a

x+

cosθ

b

y=1（a，b为给定的正常数，θ为参数，θ∈[0，2π））构成的集合为S，给出下列命题：
①当θ=

π

4

时，S中直线的斜率为

b

a

；
②S中所有直线均经过一个定点；
③当a=b时，存在某个定点，该定点到S中的所有直线的距离均相等；
④当a＞b时，S中的两条平行直线间的距离的最小值为2b；
⑤S中的所有直线可覆盖整个平面．
其中正确的是

 

（写出所有正确命题的编号）．

Answer 1

考点：命题的真假判断与应用,圆锥曲线的共同特征

专题：综合题,直线与圆

分析：①当θ=

π

4

时，sinθ=cosθ，S中直线的斜率为-

b

a

，；
②S中所有直线均经过一个定点，不正确；
③当a=b时，方程为xsinθ+ycosθ=a，存在定点（0，0），该定点到S中的所有直线的距离均相等；
④当a＞b时，S中的两条平行直线间的距离为d=

2

sin2θ a2 + cos2θ b2

≥2b，可得最小值大于2b；
⑤（0，0）不满足方程．

解答： 解：①当θ=

π

4

时，sinθ=cosθ，S中直线的斜率为-

b

a

，故不正确；
②根据

sinθ

a

x+

cosθ

b

y=1，可知S中所有直线不可能经过一个定点，不正确；
③当a=b时，方程为xsinθ+ycosθ=a，存在定点（0，0），该定点到S中的所有直线的距离均相等；
④当a＞b时，S中的两条平行直线间的距离为d=

2

sin2θ a2 + cos2θ b2

＞2b，即最小值大于2b；
⑤（0，0）不满足方程，所以S中的所有直线不可覆盖整个平面．
故答案为：③．

点评：本题考查直线系方程的应用，要明确直线系中直线的性质，结合图形，判断各个命题的正确性．