Question

（1）已知x、y都是正实数，求证：x³+y³≥x²y+xy²；
（2）设函数f（x）=|x+1|+|x-5|，x∈R，如果关于x的不等式f（x）≥a-（x-2）²在R上恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

考点：函数恒成立问题,不等式的证明

专题：综合题,函数的性质及应用,不等式的解法及应用

分析：（1）用比较法证明不等式，（x³+y³ ）-（x²y+xy²）=（x+y）（x-y）²，分析符号可得结论．
（2）转化函数为分段函数求出最小值，然后求出实数a的取值范围．

解答： 证明：（1）∵（x³+y³ ）-（x²y+xy²）=x² （x-y）+y²（y-x）=（x-y）（x²-y² ）
=（x+y）（x-y）²．
∵x，y都是正实数，∴（x-y）²≥0，（x+y）＞0，∴（x+y）（x-y）²≥0，
∴x³+y³≥x²y+xy²．
（2）函数f（x）=|x+1|+|x-5|，x∈R，
关于x的不等式f（x）≥a-（x-2）²，转化为：|x+1|+|x-5|+（x-2）²≥a，在R上恒成立，
令g（x）=|x+1|+|x-5|+（x-2）²=

x2-6x+8，x＜-1 x2-4x+10，-1≤x＜5 x2-2x，5≤x

，
x=2时函数取得最小值为：6，
∴实数a的取值范围：（-∞，6]．

点评：本题考查用比较法证明不等式，基本不等式的应用，将式子变形是证明的关键．函数恒成立问题的应用，考查计算能力以及转化思想．