Question

设点P（x，y）是曲线C上任意一点，若点P到定点F（c，0）的距离与到定直线l：x=

a2

c

的距离的比等于

c

a

（其中a＞c＞0）．
（1）求曲线C的方程，并指出其轨迹类型；
（2）当a=2，c=

3

时，问是否存在经过点（0，2）的直线m与曲线C相交于P，Q两点，使原点O位于以线段PQ为直径的圆上？若存在，请求出直线m的方程；若不存在，请说明理由．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：

分析：（1）根据已知条件，由椭圆第二定义能求出曲线C的方程和轨迹类型．
（2）由已知条件推导出椭圆方程为

x2

4

+y2=1，假设满足条件的直线存在．设直线m的方程为y=kx+2，联立

y=kx+2 x2 4 +y2=1

，得（4k²+1）x²+16kx+12=0，利用根的判别式和韦达定理能求出直线m的方程．

解答： 解：（1）∵点P（x，y）是曲线C上任意一点，
点P到定点F（c，0）的距离与到定直线l：x=

a2

c

的距离的比等于

c

a

（其中a＞c＞0），
∴由椭圆第二定义知，
曲线C是以F（c，0）为焦点的椭圆，
其标准方程为：

x2

a2

+

y2

a2-c2

=1．
（2）∵a=2，c=

3

，
∴椭圆方程为

x2

4

+y2=1，
假设存在经过点（0，2）的直线m与曲线C相交于P，Q两点，
使原点O位于以线段PQ为直径的圆上．
①直线m的斜率不存在，直线m的方程为x=0，
此时P（0，1），Q（0，-1），不成立；
②若直线m的斜率存在，设直线m的方程为y=kx+2，
联立

y=kx+2 x2 4 +y2=1

，得（4k²+1）x²+16kx+12=0，
∵△=256k²-192k²-48＞0，
∴k＞

3

2

或k＜-

3

2

．
设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），
则x1+x2=

-16k

4k2+1

，x₁x₂=

12

4k2+1

，
∴y₁y₂=（kx₁+2）（kx₂+2）=k²x₁x₂+2k（x₁+x₂）+4
=

12k2-32k2+16k2+4

4k2+1

=

4-4k2

4k2+1

，
∵原点O位于以线段PQ为直径的圆上，
∴

OP

⊥

OQ

，
∴

OP

•

OQ

=x₁x₂+y₁y₂=0，
∴

12

4k2+1

+

4-4k2

4k2+1

=0，
解得k=±2，
∴直线m的方程为y=±2x+2．

点评：本题考查曲线方程的求法，考查直线方程是否存在的判断与求法，解题时要认真审题，要熟练掌握圆锥曲线的第二定义，注意向量知识的合理运用．