Question

函数f（x）=2sin（πx）-

1

1-x

，x∈[-2，4]的所有零点之和为

 

．

Answer 1

考点：正弦函数的图象

专题：函数的性质及应用

分析：设t=1-x，则x=1-t，原函数可化为g（t）=2sinπt-

1

t

，由于g（x）是奇函数，观察函数y=2sinπt与y=

1

t

的图象可知，在[-3，3]上，两个函数的图象有8个不同的交点，其横坐标之和为0，从而 x₁+x₂+…+x₇+x₈的值．

解答： 解：设t=1-x，则x=1-t，原函数可化为：
g（t）=2sin（π-πt）-

1

t

=2sinπt-

1

t

，其中，t∈[-3，3]，
因g（-t）=-g（t），
故g（t） 是奇函数，观察函数 y=2sinπt（红色部分）
与曲线y=

1

t

 （蓝色部分）的图象可知，
在t∈[-3，3]上，两个函数的图象有8个不同的交点，
其横坐标之和为0，即t₁+t₂+…+t₇+t₈=0，
从而x₁+x₂+…+x₇+x₈=8，
故答案为：8．

点评：本题主要考查正弦函数的图象特征，函数的零点与方程的根的关系，体现了转化、数形结合的数学思想，属于中档题．