Question

设f（x）=|x-a|，a∈R．
（Ⅰ）当-1≤x≤3时，f（x）≤3，求a的取值范围；
（Ⅱ）若对任意的x∈R，f（x-a）+f（x+a）≥1-2a恒成立，求实数a的最小值．

Answer 1

考点：绝对值不等式的解法,函数恒成立问题

专题：不等式的解法及应用

分析：（Ⅰ）由 f（x）≤3解得a-3≤x≤a+3，由题意可得

a-3≤-1 a+3≥3

，由此解得a的范围．
（Ⅱ）利用基本不等式求得f（x-a）+f（x+a）的最小值为2|a|，结合题意可得2|a|≥1-2a，解得a的范围．

解答： 解：（Ⅰ） f（x）≤3，即|x-a|≤3，解得a-3≤x≤a+3，
由题意可得

a-3≤-1 a+3≥3

，
解得 0≤a≤2，即a的范围是[0，2]．
（Ⅱ）f（x-a）+f（x+a）=|x-2a|+|x|≥|（x-2a）-x|=2|a|，
当且仅当（x-2a）x≤0时，等号成立．
结合题意可得2|a|≥1-2a，
解得a≥

1

4

，故a的最小值为

1

4

．

点评：本题主要考查绝对值不等式的解法，函数的恒成立问题，属于中档题．