Question

已知函数f（x）=x²+（a-2）x+a-1，且f（x）在[2，+∞）上单调递增，在（-∞，2]上单调递减．
（1）求实数a的值；
（2）求函数f（x）的最小值；
（3）不等式f（x）≥-2的解．

Answer 1

考点：二次函数的性质

专题：函数的性质及应用

分析：（1）利用二次函数的对称轴方程，即可求出实数a的值；
（2）直接利用二次函数的性质求出函数f（x）的最小值；
（3）转化不等式f（x）≥-2为二次不等式，直接求解即可．

解答： 解：（1）∵f（x）在[2，+∞）上单调递增，在（-∞，2]上单调递减，
∴函数f（x）=x²+（a-2）x+a-1对称轴为x=-

a-2

2

=2，
∴a=-2，
∴f（x）=x²-4x-3．
（2）∵f（x）=x²-4x-3，
∴当且仅当x=2时，f(x)min=-3-

(-4)2

4×1

=-7．
（3）∵f（x）≥-2，
∴x²-4x-3≥-2，即x²-4x-1≥0．
∵x1，2=

4± 16-4×1×(-1)

2

=2±

5

，
∴不等式f（x）≥-2的解集为：(-∞，2-

5

]∪[2+

5

，+∞)．

点评：本题考查二次函数的基本性质，函数的对称轴方程以及函数的最小值，二次不等式的求法，考查计算能力．