题目内容

1．在平面直角坐标系中，O为坐标原点，A，B，C三点满足$\overrightarrow{OC}$=$\frac{5}{3}$$\overrightarrow{OA}$-$\frac{2}{3}$$\overrightarrow{OB}$．
（1）求证：A，B，C三点共线，并求$\frac{|\overrightarrow{AC|}}{|\overrightarrow{BC|}}$的值；
（2）设A（1，sinx），B（1+cosx，2sinx），x∈R，求函数f（x）=$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$的最大值．
（3）若A（1，cosx），B（1+cosx，cosx），x∈（-$\frac{π}{2}$，$\frac{π}{2}$），且函数g（x）=$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OC}$+（2m+$\frac{2}{3}$）•|$\overrightarrow{AB}$|的最小值为$\frac{1}{2}$，求实数m的值．

分析 （1）求证：A、B、C三点共线，可证由三点组成的两个向量共线，由题设条件不难得到，变形即可得到两向量模的比值；
（2）由向量的数量积的运算，得到f（x）=-2（cosx-$\frac{1}{4}$）2+$\frac{25}{3}$，根据三角函数和二次函数的性质即可求出最大值；
（3）由向量的数量积的运算，模的计算，得到g（x）=（cosx+m）2+1-m2，判断其最值取到的位置，令其最小值为$\frac{1}{2}$，由参数即可，

解答 解：（1）∵$\overrightarrow{OC}$=$\frac{5}{3}$$\overrightarrow{OA}$-$\frac{2}{3}$$\overrightarrow{OB}$，
∴$\overrightarrow{OC}$-$\overrightarrow{OA}$=$\frac{2}{3}$$\overrightarrow{OA}$-$\frac{2}{3}$$\overrightarrow{OB}$，
∴$\overrightarrow{AC}$=$\frac{2}{3}$$\overrightarrow{BA}$，
∴$\overrightarrow{AC}$∥$\overrightarrow{BA}$，
∵$\overrightarrow{AC}$，$\overrightarrow{BA}$有公共点A，
∴A，B，C三点共线．
∵$\overrightarrow{AC}$=$\frac{2}{3}$$\overrightarrow{BA}$=$\frac{2}{3}$（$\overrightarrow{BC}$-$\overrightarrow{AC}$），
∴5$\overrightarrow{AC}$=2$\overrightarrow{BC}$，
∴$\frac{|\overrightarrow{AC|}}{|\overrightarrow{BC|}}$=$\frac{2}{5}$；
（2）∵A（1，sinx），B（1+cosx，2sinx），x∈R，
∴f（x）=$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$=1+cosx+2sin2x=-2cos2x+cosx+3=-2（cosx-$\frac{1}{4}$）2+$\frac{25}{3}$，
∵-1≤cosx≤1，
∴当cosx=$\frac{1}{4}$，f（x）max=$\frac{25}{3}$；
（3）∵x∈（-$\frac{π}{2}$，$\frac{π}{2}$），
∴0＜cosx≤1，
∵A（1，cosx），B（1+cosx，cosx），x∈（-$\frac{π}{2}$，$\frac{π}{2}$），
∴$\overrightarrow{OC}$=$\frac{5}{3}$$\overrightarrow{OA}$-$\frac{2}{3}$$\overrightarrow{OB}$=$\frac{5}{3}$（1，cosx）-$\frac{2}{3}$（1+cosx，cosx）=（1-$\frac{2}{3}$cosx，cosx），|$\overrightarrow{AB}$|2=cos2x，
∴g（x）=$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OC}$+（2m+$\frac{2}{3}$）•|$\overrightarrow{AB}$|=1-$\frac{2}{3}$cosx+cos2x+（2m+$\frac{2}{3}$）cosx=（cosx+m）2+1-m2，
当m＜0时，当cosx=0时，f（x）取最小值1与已知相矛盾；
当0≤m≤1时，当cosx=m时，f（x）取最小值1-m2，得1-m2=$\frac{1}{2}$，解得m=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
当m＞1时，当cosx=1时，f（x）取得最小值2-2m=$\frac{1}{2}$，解得m=$\frac{3}{4}$（舍去），
综上所述，m=$\frac{\sqrt{2}}{2}$．

点评 本题考查三点共线的证明方法及三角函数的最值的运用向量与三角相结合，综合性较强，属于中档题．

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