题目内容

13．已知函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{1-\frac{1}{x}，x＞0}\\{{2}^{x}-4，x≤0}\end{array}\right.$．
（1）求f（1）的值；
（2）证明函数f（x）在（0，+∞）上单调递增；
（3）求f（x）的零点．

分析 （1）f（1）=1-1=0；
（2）求导f′（x）=$\frac{1}{{x}^{2}}$＞0，从而判断单调性；
（3）分类讨论，令1-$\frac{1}{x}$=0，令2x-4=0；从而解得．

解答 解：（1）f（1）=1-1=0；
（2）证明：∵x∈（0，+∞）时，
f（x）=1-$\frac{1}{x}$，f′（x）=$\frac{1}{{x}^{2}}$＞0；
∴f（x）=1-$\frac{1}{x}$在（0，+∞）上单调递增；
（3）令1-$\frac{1}{x}$=0得，x=1；
令2x-4=0得，x=2（舍去）；
故f（x）的零点为1．

点评 本题考查了分段函数的应用及导数的应用．

练习册系列答案
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A．an=2n-2B．an=n2+n-2
C．an=$\left\{\begin{array}{l}{0，}&{n=1}\\{2n-1，}&{n≥2}\end{array}\right.$D．an=$\left\{\begin{array}{l}{0，}&{n=1}\\{2n，}&{n≥2}\end{array}\right.$
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A．4B．8C．16D．$\frac{16}{3}$

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