Question

10．如图，在正四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是边长为1的正方形，O是AC与BD的交点，PO=1，M是PC的中点．
（1）设$\overrightarrow{AB}$=$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{AD}$=$\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{AP}$=$\overrightarrow{c}$，用$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{c}$表示向量$\overrightarrow{BM}$；
（2）在如图的空间直角坐标系中，求向量$\overrightarrow{BM}$的坐标．

Answer 1

分析 （1）利用向量的三角形法则可得：$\overrightarrow{BM}=\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CM}$，$\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AD}$，$\overrightarrow{CM}$=$\frac{1}{2}\overrightarrow{CP}$，$\overrightarrow{CP}=\overrightarrow{AP}-\overrightarrow{AC}$，$\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}$，代入化简即可得出．
（2）由于$\overrightarrow{a}$=$\overrightarrow{AB}$=（1，0，0），$\overrightarrow{b}$=$\overrightarrow{AD}$=（0，1，0），$\overrightarrow{c}$=$\overrightarrow{AP}$=$\overrightarrow{OP}-\overrightarrow{OA}$=（0，0，1），代入即可得出．

解答 解：（1）∵$\overrightarrow{BM}=\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CM}$，$\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AD}$，$\overrightarrow{CM}$=$\frac{1}{2}\overrightarrow{CP}$，$\overrightarrow{CP}=\overrightarrow{AP}-\overrightarrow{AC}$，$\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}$，
∴$\overrightarrow{BM}$=$\overrightarrow{AD}$+$\frac{1}{2}（\overrightarrow{AP}-\overrightarrow{AC}）$
=$\overrightarrow{AD}+\frac{1}{2}\overrightarrow{AP}$-$\frac{1}{2}（\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}）$
=$\frac{1}{2}\overrightarrow{AD}$+$\frac{1}{2}\overrightarrow{AP}-\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}$
=$\frac{1}{2}\overrightarrow{b}$+$\frac{1}{2}\overrightarrow{c}$-$\frac{1}{2}\overrightarrow{a}$．
（2）$\overrightarrow{a}$=$\overrightarrow{AB}$=（1，0，0），$\overrightarrow{b}$=$\overrightarrow{AD}$=（0，1，0），
∵O$（\frac{1}{2}，\frac{1}{2}，0）$，P$（\frac{1}{2}，\frac{1}{2}，1）$．
∴$\overrightarrow{c}$=$\overrightarrow{AP}$=$\overrightarrow{OP}-\overrightarrow{OA}$=（0，0，1），
∴$\overrightarrow{BM}$=$\frac{1}{2}\overrightarrow{b}$+$\frac{1}{2}\overrightarrow{c}$-$\frac{1}{2}\overrightarrow{a}$=$\frac{1}{2}$（0，1，0）+$\frac{1}{2}$（0，0，1）-$\frac{1}{2}$（1，0，0）
=$（-\frac{1}{2}，\frac{1}{2}，\frac{1}{2}）$．

点评 本题考查了向量的三角形法则、向量坐标运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．