Question

11．在菱形ABCD中，A=60°，AB=$\sqrt{3}$，将△ABD沿BD折起到△PBD的位置，若二面角P-BD-C的大小为$\frac{2π}{3}$，则三棱锥P-BCD的外接球体积为（　　）

• A． $\frac{4}{3}$π
• B． $\frac{\sqrt{3}}{2}$π
• C． $\frac{7\sqrt{7}}{6}$π
• D． $\frac{7\sqrt{7}}{2}$π

Answer 1

分析 取BD中点E，连接AE，CE，则∠AEC=$\frac{2π}{3}$，AE=CE=$\frac{3}{2}$，建立方程组，求出三棱锥P-BCD的外接球的半径，即可求出三棱锥P-BCD的外接球体积．

解答 解：取BD中点E，连接AE，CE，则∠PEC=$\frac{2π}{3}$，PE=CE=$\frac{3}{2}$
设△BCD的外接圆的圆心与球心的距离为h，
三棱锥P-BCD的外接球的半径为R，则$\left\{\begin{array}{l}{{R}^{2}=1+{h}^{2}}\\{（\frac{3\sqrt{3}}{4}-h）^{2}+（\frac{5}{4}）^{2}={R}^{2}}\end{array}\right.$，
∴R=$\frac{\sqrt{7}}{2}$，h=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴三棱锥P-BCD的外接球体积为$\frac{4}{3}π•（\frac{\sqrt{7}}{2}）^{3}$=$\frac{7\sqrt{7}}{6}π$．
故选：C．

点评 本题考查三棱锥P-BCD的外接球体积，考查学生的计算能力，确定三棱锥P-BCD的外接球的半径是关键．