Question

设函数f（x）=ax²-xlnx-（2a-1）x+a-1（a∈R）
（1）当a=0时，求函数f（x）在点P（e，f（e））处的切线方程；
（2）对任意的x∈[1，+∞），函数f（x）≥0恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

考点：利用导数研究曲线上某点切线方程,利用导数求闭区间上函数的最值

专题：导数的综合应用

分析：（1）把a=0代入函数解析式，求导后得到函数在点P（e，f（e））处的切线的斜率，然后利用直线方程的点斜式得答案；
（2）由f（x）≥0，得ax²-xlnx-（2a-1）x+a-1≥0，求出函数的导函数，导函数在x=1处，的导数为0，然后由导函数的导函数在[1，+∞）上大于0求得a的范围，就是满足函数f（x）≥0恒成立的实数a的取值范围．

解答： 解：（1）a=0时，f（x）=-xlnx+x-1，
f′（x）=-lnx，∴f′（e）=-lne=-1，
又f（e）=-elne+e-1=-1，
∴函数f（x）在点P（e，f（e））处的切线方程为：y+1=-1×（x-e），即x+y+1-e=0；
（2）由f（x）≥0，得ax²-xlnx-（2a-1）x+a-1≥0，
f′（x）=2ax-2a-lnx，令g（x）=2ax-2a-lnx，
则g′(x)=2a-

1

x

=

2ax-1

x

，
∵f′（1）=0，
∴只要g′（x）≥0，就有g（0）≥0，且g（x）单调递增，即f（x）≥f（1）=0．
∴2ax-1≥0，a≥

1

2

．
∴实数a的取值范围是[

1

2

，+∞）．

点评：本题考查了利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，考查了利用导数求函数的最值，二次求导是解答该题的关键，是中档题．