Question

已知点A（-1，0），若函数f（x）的图象上存在两点B、C到点A的距离相等，则称该函数f（x）为“点距函数”，给定下列三个函数：①y=-x+2（-1≤x≤2）；②y=

9-(x+1)2

；③y=x+4（x≤-

5

2

）．其中，“点距函数”的个数是（　　）

• A、0
• B、1
• C、2
• D、3

Answer 1

考点：进行简单的合情推理

专题：函数的性质及应用

分析：根据已知中函数f（x）为“点距函数”的定义，逐一判断所给定的三个函数，是否满足函数f（x）为“点距函数”的定义，最后综合讨论结果，可得答案．

解答： 解：对于①，过A作直线y=-x+2的垂线y=x+1，
交直线y=-x+2于D（

1

2

，

3

2

）点，
D（

1

2

，

3

2

）在y=-x+2（-1≤x≤2）的图象上，
故y=-x+2（-1≤x≤2）的图象上距离D距离相等的两点B、C，满足B、C到点A的距离相等，
故该函数f（x）为“点距函数”；
对于②，y=

9-(x+1)2

表示以（-1，0）为圆心以3为半径的半圆，图象上的任意两点B、C，满足B、C到点A的距离相等，
故该函数f（x）为“点距函数”；
对于③，过A作直线y=x+4的垂线y=-x-1，
交直线y=x+4于E（-

5

2

，

3

2

）点，
E（-

5

2

，

3

2

）是射线y=x+4（x≤-

5

2

）的端点，
故y=x+4（x≤-

5

2

）的图象上不存在两点B、C，满足B、C到点A的距离相等，
故该函数f（x）不为“点距函数”；
综上所述，其中“点距函数”的个数是2个，
故选：C

点评：本题考查的知识点是新定义函数f（x）为“点距函数”，正确理解函数f（x）为“点距函数”的概念是解答的关键．