Question

假设a₁，a₂，a₃，a₄是一个等差数列，且满足0＜a₁＜2，a₃=4．若b_n=2^a_n（n=1，2，3，4）．给出以下命题：
①数列{b_n}是等比数列；
②b₂＞4；
③b₄＞32；
④b₂b₄=256．
其中正确命题的个数是（　　）

• A、1
• B、2
• C、3
• D、4

Answer 1

考点：命题的真假判断与应用,等差数列的通项公式,等比数列的通项公式

专题：等差数列与等比数列

分析：①中，由a₁，a₂，a₃，a₄是等差数列，判定b_n=2an组成等比数列；
②中，由等差中项求出a₂=

a1+a3

2

＞2，得b₂＞4；
③中，由a₄=a₃+d＞5，得出b₄＞2⁵；
④中，求出b₂b₄=b32=256．

解答： 解：根据题意，得
对于①，∵a₁，a₂，a₃，a₄是一个等差数列，
设公差为d，则a_n=a₁+（n-1）d，（n=1，2，3，4）；
∴b_n=2an=2a1+(n-1)d=2a1•（2^d）^n-1，（n=1，2，3，4），
∴{b_n}是首项为2a1，公比为2^d的等比数列．∴命题①正确．
对于②，∵在等差数列{a_n}中，0＜a₁＜2，a₃=4，
∴a₂=

a1+a3

2

=

a1+4

2

＞2，∴b₂=2a2＞4；
∴②正确．
对于③，等差数列{a_n}中，0＜a₁＜2，a₃=4，∴公差d∈（1，2），
∴a₄=a₃+d＞5，∴b₄=2a4＞2⁵=32；
∴命题③正确．
对于④，∵b₂b₄=b32=(2a3)2=（2⁴）²=256，∴命题④正确．
综上，以上命题正确的是4个．
故选：D．

点评：本题考查了等差与等比数列的综合应用问题，解题时应熟练地应用等差、等比数列的性质，是一道综合题．