Question

已知[x]表示不超过实数x的最大整数（x∈R），如：[-1，3]=-2，[0，8]=0，[3，4]=3．定义{x}=x-[x]，给出如下命题：
①使[x+1]=3成立的x的取值范围是2≤x＜3；
②函数y={x}的定义域为R，值域为[0，1]；
③{

2013

2014

}+{

20132

2014

}+{

20133

2014

}+…+{

20132014

2014

}=1007；
④设函数f（x）=

x-[x]    x≥0 f(x+1)，x＜0

，则函数y=f（x）-

1

4

x-

1

4

的不同零点有3个．
其中正确的命题有（　　）

• A、1个
• B、2个
• C、3个
• D、4个

Answer 1

考点：命题的真假判断与应用

专题：新定义,函数的性质及应用

分析：①由[x]表示不超过实数x的最大整数，即可判断[x+1]=3的x的取值范围；
②函数{x}的定义域为R，推出函数的最小正周期为1，再推出当0≤x＜1时，y={x}的值域，从而判断②；
③推出n分别为偶数、奇数时，{

2013n

2014

}=

1

2014

或1-

1

2014

，从而判断③的正确性；
④可先求出0≤x＜3，-3≤x＜0的f（x）的表达式，令y=0，则f（x）=

1

4

x+

1

4

，然后在同一个坐标系中，画出函数y=f（x）和y=

1

4

x+

1

4

的图象，找出交点个数即可．

解答： 解：①已知[x]表示不超过实数x的最大整数，由[x+1]=3得3≤x+1＜4即2≤x＜3，故①正确；
②函数{x}的定义域为R，又由{x+1}=（x+1）-[x+1]=x-[x]={x}，故函数{x}=x-[x]是周期为1的函数，
当0≤x＜1时，{x}=x-[x]=x-0=x，故函数{x}的值域为[0，1），故②错误；
③当n为偶数时，{

2013n

2014

}={

(2014-1)n

2014

}={2014^n-1-n•2014^n-2+…-n+

1

2014

}=

1

2014

，
当n为奇数时，{

2013n

2014

}={

(2014-1)n

2014

}={2014^n-1-n•2014^n-2+…+n-

1

2014

}=1-

1

2014

，
故{

2013

2014

}+{

20132

2014

}+{

20133

2014

}+…+{

20132014

2014

}=（

2013

2014

+

1

2014

）+（

2013

2014

+

1

2014

）+…+
（

2013

2014

+

1

2014

）=1007，故③正确；
④当0≤x＜1时，f（x）=x-[x]=x-0=x，当1≤x＜2，则f（x）=x-1，
当2≤x＜3，则f（x）=x-2，…
当-1≤x＜0，则0≤x+1＜1，则f（x）=f（x+1）=x+1，
当-2≤x＜-1，则-1≤x+1＜0，则f（x）=f（x+1）=x+2，
当-3≤x＜-2，则-2≤x+1＜-1，则f（x）=f（x+1）=x+3，…
令y=0，则f（x）=

1

4

x+

1

4

，在同一个坐标系中，画出函数y=f（x）和
y=

1

4

x+

1

4

的图象，显然有3个交点，故④正确．
故选C．

点评：本题是新定义题，考查函数的性质及应用，考查函数的定义域、值域以及函数的周期性，运用图象相交的交点个数来确定函数的零点个数，对定义的准确理解是迅速解题的关键．