Question

已知函数f（x）=lnx+

a

x

．
（1）当a=1时，求f（x）的极值；
（2）若f（x）在[2

，+∞)

上是单调递增的，求实数a的取值范围．（e为自然对数的底数）

Answer 1

考点：利用导数研究函数的单调性,利用导数研究函数的极值

专题：导数的综合应用

分析：（1）利用导数求函数的极值即可；
（2）由题意得f′（x）=

1

x

-

a

x2

=

x-a

x2

≥0在[2

，+∞)

上恒成立，即可得出结论．

解答： 解：（1）当a=1时，f（x）=lnx+

1

x

，
∴f′（x）=

1

x

-

1

x2

=

x-1

x2

=0，∴x=1，
∴当x＞1时，f′（x）＞0，f（x）在（1，+∞）上为增函数，
当0＜x＜1时，f′（x）＜0，f（x）在（0，1）上为减函数，
∴当x=1时，函数有极小值为f（1）=1．
（2）f′（x）=

1

x

-

a

x2

=

x-a

x2

，
∵f（x）在[2

，+∞)

上是单调递增的，
∴f′（x）=

1

x

-

a

x2

=

x-a

x2

≥0在[2

，+∞)

上恒成立，
∴a≤2．

点评：本题主要考查利用导数研究函数的单调性，求函数的极值等知识，属于基础题，应熟练掌握．