Question

已知函数f（x）=

a

a2-1

•（a^x-a^-x）（a＞0且a≠1），讨论f（x）的单调性．

Answer 1

考点：函数单调性的判断与证明

专题：函数的性质及应用

分析：设x₁、x₂∈R，且x₁＜x₂，f（x₂）-f（x₁）=

a

a2-1

（ax2-ax1）（1+

1

ax1•ax2

），通过讨论a的范围，从而确定出函数的单调性．

解答： 解：f（x）的定义域为R，设x₁、x₂∈R，且x₁＜x₂
则f（x₂）-f（x₁）=

a

a2-1

（ax2-ax1）（1+

1

ax1•ax2

），
由于a＞0，且a≠1，∴1+

1

ax1•ax2

＞0，
①0＜a＜1时，ax2-ax1＜0，a²-1＜0，
∴f（x₂）-f（x₁）＞0，即f（x₁）＜f（x₂），
∴f（x）是增函数，
②a＞1时，ax2-ax1＞0，a²-1＞0，
∴f（x₂）-f（x₁）＞0，即f（x₁）＜f（x₂），
∴f（x）是增函数，
综上：函数f（x）在定义域上是增函数．

点评：本题考查了函数的单调性问题，考查了单调性的证明问题，考查了指数函数的性质，是一道中档题．