Question

已知函数f（x）是定义在（-∞，0）∪（0，+∞）上的奇函数，在（0，+∞）上单调递减，且f（

1

2

）f（-

3

）＞0，则方程f（x）=0的根的个数为

 

．

Answer 1

考点：根的存在性及根的个数判断

专题：函数的性质及应用

分析：用函数为奇函数得f（-

3

）=-f（

3

），又在（0，+∞）上单调递减，所以函数f（x）在（

1

2

，

3

）上与x轴有一个交点，再利用奇函数的性质可得必在（-

3

，-

1

2

）上也有一个交点，即可得答案

解答： 解：由于函数是奇函数，且在（0，+∞）上单调递减，
因此在（-∞，0）上单调递减，
又因为f（

1

2

）＞0＞-f（-

3

）=f（

3

），
所以函数f（x）在（

1

2

，

3

）上与x轴有一个交点，
必在（-

3

，-

1

2

）上也有一个交点，
故方程f（x）=0的根的个数为2．
故答案为：2

点评：本题主考查抽象函数的单调性、对称性以及奇偶性，偶函数在关于原点对称的区间上单调性相反，而奇函数在关于原点对称的区间上单调性相同．